Nombres complexos
Arrossega z₁ i z₂ al pla complex. Activa operacions per veure suma, diferència, producte, quocient i conjugats com a vectors. Descobreix per què sumes i restes s'entenen millor en forma cartesiana, i productes i quocients en forma polar.
|z₁|3.61θ₁34°|z₂|2.24θ₂-63°
Arrossega els cercles · Roda del ratolí o +/− per fer zoom
Suma/resta → Cartesiana · Producte/quocient → Polar
| Forma cartesiana | Forma polar | |
|---|---|---|
| Suma | (a+c) + (b+d)i | — |
| Diferència | (a−c) + (b−d)i | — |
| Producte | (ac−bd) + (ad+bc)i | r₁·r₂ ∠ (θ₁+θ₂) |
| Quocient | (ac+bd)/|z₂|² + ... | (r₁/r₂) ∠ (θ₁−θ₂) |
| Conjugat | a − bi | r ∠ −θ |
Punts clau
- |z| = √(a²+b²) és la distància de l'origen al punt del pla complex.
- arg(z) = atan2(b, a) és l'angle respecte a l'eix real positiu.
- Suma i resta: (a+c)+(b+d)i — opera component a component. La forma cartesiana és natural.
- Producte: |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| i arg(z₁·z₂) = arg(z₁)+arg(z₂). Multiplicar = rotar + escalar. La forma polar és natural.
- Conjugat z̄ = a−bi: reflexió sobre l'eix real. |z̄| = |z|, arg(z̄) = −arg(z).
Investiga
Pregunta
Què li passa geomètricament a z₁·z₂ respecte a z₁ i z₂ per separat?
Procediment
- Activa l'operació «Producte z₁·z₂».
- Arrossega z₁ i z₂ a posicions clares i anota el mòdul i l'angle (forma polar) de cadascun, i també del resultat z₁·z₂.
Dades
Mòdul i angle de z₁, de z₂ i de z₁·z₂.
Anàlisi
Compara el mòdul de z₁·z₂ amb el producte dels mòduls, i l'angle de z₁·z₂ amb la suma dels angles.
Conclusió
Multiplicar dos nombres complexos suma els angles i multiplica els mòduls, o hi ha una altra relació?
Feedback ràpid
T’ha ajudat aquesta simulació a entendre el concepte?