Números complejos
Arrastra z₁ y z₂ en el plano complejo. Activa operaciones para ver suma, diferencia, producto, cociente y conjugados como vectores. Descubre por qué sumas y restas se entienden mejor en forma cartesiana, y productos y cocientes en forma polar.
|z₁|3.61θ₁34°|z₂|2.24θ₂-63°
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Suma/resta → Cartesiana · Producto/cociente → Polar
| Forma cartesiana | Forma polar | |
|---|---|---|
| Suma | (a+c) + (b+d)i | — |
| Diferencia | (a−c) + (b−d)i | — |
| Producto | (ac−bd) + (ad+bc)i | r₁·r₂ ∠ (θ₁+θ₂) |
| Cociente | (ac+bd)/|z₂|² + ... | (r₁/r₂) ∠ (θ₁−θ₂) |
| Conjugado | a − bi | r ∠ −θ |
Puntos clave
- |z| = √(a²+b²) es la distancia del origen al punto del plano complejo.
- arg(z) = atan2(b, a) es el ángulo respecto al eje real positivo.
- Suma y resta: (a+c)+(b+d)i — opera componente a componente. La forma cartesiana es natural.
- Producto: |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| y arg(z₁·z₂) = arg(z₁)+arg(z₂). Multiplicar = rotar + escalar. La forma polar es natural.
- Conjugado z̄ = a−bi: reflexión sobre el eje real. |z̄| = |z|, arg(z̄) = −arg(z).
Investiga
Pregunta
¿Qué le pasa geométricamente a z₁·z₂ respecto a z₁ y z₂ por separado?
Procedimiento
- Activa la operación «Producto z₁·z₂».
- Arrastra z₁ y z₂ a posiciones claras y anota el módulo y el ángulo (forma polar) de cada uno, y también del resultado z₁·z₂.
Datos
Módulo y ángulo de z₁, de z₂ y de z₁·z₂.
Análisis
Compara el módulo de z₁·z₂ con el producto de los módulos, y el ángulo de z₁·z₂ con la suma de los ángulos.
Conclusión
¿Multiplicar dos números complejos suma los ángulos y multiplica los módulos, o hay otra relación?
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