Matemàtiques · 2n Batxillerat
Integral definida com a àrea sota la corba
Objectiu: veure com la suma de rectangles s’acosta a l’àrea exacta quan Δx tendeix a 0.
Sₙ16,0000000000∫f16,0000000000n8
Fórmules aplicades
| Magnitud | Fòrmula | Substitució | Valor |
|---|---|---|---|
| Sₙ | Σ f(xᵢ*)·Δx | n = 8, Δx = 0,5000000000 | 16,0000000000 |
| F(a) | F(a) | F(0.0) | 0,0000000000 |
| F(b) | F(b) | F(4.0) | 16,0000000000 |
| ∫f | F(b) − F(a) | 16,0000000000 − 0,0000000000 | 16,0000000000 |
| Error | |Sₙ − ∫f| | |16,0000000000 − 16,0000000000| | 0,0000000000 |
La suma de rectangles pràcticament coincideix amb F(b)-F(a).
Punts clau
- Cada rectangle aproxima una petita àrea f(xᵢ*)·Δx.
- Aquí xᵢ* és el punt mig de cada subinterval.
- Quan n augmenta, Δx disminueix i la suma de rectangles s’acosta a l’àrea exacta.
- El botó Δx→0 permet visualitzar el pas al límit.
- Segons el Teorema Fonamental del Càlcul, si F és una primitiva de f, aleshores ∫[a,b]f(x)dx = F(b)-F(a).
- La gràfica inferior mostra la primitiva F(x): l’àrea exacta sota f entre a i b és el canvi F(b)-F(a).
Investiga
Pregunta
Com s'aproxima la suma de rectangles al valor exacte de la integral?
Procediment
- Amb «Nombre de rectangles n» baix, anota la «Suma rectangles» i l'«Error absolut» respecte al valor exacte.
- Augmenta n progressivament (o prem el botó Δx→0) i torna a anotar la suma i l'error a cada pas.
Dades
Parelles (n, suma de rectangles, error absolut) per a almenys 3 valors de n.
Anàlisi
Compara com es redueix l'error absolut quan n augmenta.
Conclusió
Què li passa a l'error quan n creix molt? A quin valor s'acosta la suma de rectangles?
Feedback ràpid
T’ha ajudat aquesta simulació a entendre el concepte?