Integral definida com a àrea sota la corba

Objectiu: veure com la suma de rectangles s’acosta a l’àrea exacta quan Δx tendeix a 0.

Sₙ = Σ f(xᵢ*) · Δx

Δx = (b-a)/n

xᵢ* és el punt mig del subinterval.

∫[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a)

∫[0,0000000000,4,0000000000] f(x) dx = F(4,0000000000)-F(0,0000000000)

Integral exacta = 16,0000000000

F(a)=0,0000000000 · F(b)=16,0000000000

F(b)-F(a)=16,0000000000

Arrossega els extrems de l’interval i observa com canvien l’àrea acumulada i el valor de la integral definida.

Controls (variables independents)

FuncióLímit inferior a: 0,0000000000Límit superior b: 4,0000000000Nombre de rectangles n: 8 · Δx=0,5000000000Mostrar la funció primitiva

Quan Δx es fa molt petit, la suma de rectangles coincideix pràcticament amb F(b)-F(a).

Valors calculats

a=0,0000000000 · b=4,0000000000 · n=8 · Δx=0,5000000000

F(a) = 0,0000000000

F(b) = 16,0000000000

F(b)-F(a) = 16,0000000000

Suma rectangles ≈ 16,0000000000

Error absolut: 0,0000000000

Segons el Teorema Fonamental del Càlcul, F(b)-F(a) és el valor exacte de la integral definida.

Interpretació dinàmica

La suma de rectangles pràcticament coincideix amb F(b)-F(a). A les derivades fem h→0; a les integrals fem Δx→0.

Punts clau

Cada rectangle aproxima una petita àrea f(xᵢ*)·Δx.
Aquí xᵢ* és el punt mig de cada subinterval.
Quan n augmenta, Δx disminueix i la suma de rectangles s’acosta a l’àrea exacta.
El botó Δx→0 permet visualitzar el pas al límit.
Segons el Teorema Fonamental del Càlcul, si F és una primitiva de f, aleshores ∫[a,b]f(x)dx = F(b)-F(a).
La gràfica inferior mostra la primitiva F(x): l’àrea exacta sota f entre a i b és el canvi F(b)-F(a).

T’ha ajudat aquesta simulació a entendre el concepte?