Matemáticas · 2.º Bachillerato
Integral definida como área bajo la curva
Objetivo: ver cómo la suma de rectángulos se aproxima al área exacta cuando Δx tiende a 0.
Sₙ16,0000000000∫f16,0000000000n8
Fórmulas aplicadas
| Magnitud | Fórmula | Sustitución | Valor |
|---|---|---|---|
| Sₙ | Σ f(xᵢ*)·Δx | n = 8, Δx = 0,5000000000 | 16,0000000000 |
| F(a) | F(a) | F(0.0) | 0,0000000000 |
| F(b) | F(b) | F(4.0) | 16,0000000000 |
| ∫f | F(b) − F(a) | 16,0000000000 − 0,0000000000 | 16,0000000000 |
| Error | |Sₙ − ∫f| | |16,0000000000 − 16,0000000000| | 0,0000000000 |
La suma de rectángulos prácticamente coincide con F(b)-F(a).
Puntos clave
- Cada rectángulo aproxima una pequeña área f(xᵢ*)·Δx.
- Aquí xᵢ* es el punto medio de cada subintervalo.
- Cuando n aumenta, Δx disminuye y la suma de rectángulos se aproxima al área exacta.
- El botón Δx→0 permite visualizar el paso al límite.
- Según el Teorema Fundamental del Cálculo, si F es una primitiva de f, entonces ∫[a,b]f(x)dx = F(b)-F(a).
- La gráfica inferior muestra la primitiva F(x): el área exacta bajo f entre a y b es el cambio F(b)-F(a).
Investiga
Pregunta
¿Cómo se aproxima la suma de rectángulos al valor exacto de la integral?
Procedimiento
- Con «Número de rectángulos n» bajo, anota la «Suma rectángulos» y el «Error absoluto» respecto al valor exacto.
- Aumenta n progresivamente (o pulsa el botón Δx→0) y vuelve a anotar la suma y el error en cada paso.
Datos
Pares (n, suma de rectángulos, error absoluto) para al menos 3 valores de n.
Análisis
Compara cómo se reduce el error absoluto cuando n aumenta.
Conclusión
¿Qué le pasa al error cuando n crece mucho? ¿A qué valor se acerca la suma de rectángulos?
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