Progressions aritmètiques i geomètriques

Compara el creixement lineal de la progressió aritmètica (sempre una recta) amb el creixement exponencial de la geomètrica (sempre una corba). Cada gràfic té la seva pròpia escala per revelar la forma de cada progressió.

a5 arit.14a5 geom.10.1n5

Primers 8 termes

n	aₙ (arit.)	aₙ (geom.)
1	2	2
2	5	3
3	8	4.50
4	11	6.75
5	14	10.1
6	17	15.2
7↑	20	22.8
8	23	34.2

↑ geom. supera arit. (n=7)

Suma parcial aritmètica Sₙ

Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2

S₈ = 8·(2+23) / 2

S₈ = 100

Suma parcial geomètrica Sₙ

Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) / (r − 1)

S₈ = 2·(1.5⁸−1) / (1.5−1)

S₈ = 98.5

Punts clau

La progressió aritmètica sempre és una recta: la diferència entre termes consecutius és constant (raó d).
La progressió geomètrica sempre és una corba exponencial: el quocient entre termes consecutius és constant (raó r).
Per molt gran que sigui d, si r > 1, la geomètrica sempre acabarà superant l'aritmètica.
Si 0 < r < 1, la progressió geomètrica decreix cap a 0 sense mai arribar-hi (comportament asimptòtic).

Feedback ràpid

T’ha ajudat aquesta simulació a entendre el concepte?