Problemas de optimización
Aplica el cálculo diferencial para encontrar máximos y mínimos absolutos en problemas reales. Comprende cómo la derivada permite optimizar cantidades como áreas, volúmenes o costos.
V(x) = x · (12 − 2x)²
De una lámina cuadrada de 12×12 cm, se recortan cuadrados de lado x en las esquinas y se dobla la caja. ¿Qué x maximiza el volumen?
Restricciones: 0 < x < 6 (lado del corte, en cm)
Valor en x=2.00
128.00 cm³
f′ = 0.000
Valor óptimo
128.00 cm³
x = 2.00 cm → V = 128.0 cm³
✓ Punto crítico (derivada = 0): x ≈ 2.00 cm
Puntos clave
- Para optimizar, derivamos la función objetivo e igualamos a cero: f′(x) = 0.
- La segunda derivada indica si el punto crítico es máximo (f″<0) o mínimo (f″>0).
- Hay que comprobar los extremos del dominio para encontrar el máximo/mínimo absoluto.
- Siempre conviene verificar que la solución tiene sentido en el contexto del problema.
- La optimización es una herramienta fundamental en ingeniería, economía y ciencias.
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